FACTORIAL Y TEORÍA COMBINATORIA

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar métodos para contar elementos de un conjunto o la forma de agrupar elementos de un conjunto.

Por ejemplo,

Ejemplo

Si hay un grupo de 5 chicos, Alejandro, Bernardo, Carlos, David y Ernesto, de los cuales se deben elegir 2 para realizar una tarea determinada. Ahora nos preguntamos: ¿cuántas maneras tenemos para escoger estos dos chicos?

Una elección podría ser Alejandro y Carlos, o también David y Bernardo. Pero si se tuvieran que probar todas las posibilidades a mano, ¡se tardaría mucho tiempo! No obstante, con ayuda de la combinatoria, como se verá más adelante, es muy rápido calcularlo: resulta que hay 10 posibilidades diferentes).

Éstos son dos conceptos básicos en el análisi combinatorio, es decir, el factorial y los números combinatorios.

Llamaremos al resultado de multiplicar todos los números desde el 1 hasta n, el factorial del número n. Para escribirlo se hace mediante el símbolo n!. Es decir:

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅1

Ejemplo

1!=13!=3⋅2⋅1=64!=4⋅3⋅2⋅1=24

Por definición, se dice que el factorial de 0 es 1, es decir: 0!=1

Por otro lado, llamamos a lo siguiente el número combinatorio n sobre k :

(nk)=n!k!⋅(n−k)!

Ejemplo

Por ejemplo, el número combinatorio 4 sobre 3 es:

(42)=4!2!(4−2)!=4!2!⋅2!=4⋅3⋅/2⋅/1/2⋅/1⋅2⋅1=3⋅2=6

Como en el ejemplo, para facilitar los cálculos es muy recomendable simplificar las fracciones antes que nada, porque así se evitan muchos cálculos.