para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados (ver operación) queda finalmente:
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.
Ejemplo: Si tenemos la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0
Entonces tenemos que: A = 4 Þ 4 = b2 Þ b = 2; B = 9 Þ 9 = a2 Þ a = 3
Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos en centro (p, q).
C = 24 Þ 24 = – 2pb2 Þ p = – 3
D = – 54 Þ – 54 = – 2qa2 Þ q = 3
El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor de 81. E = p2b2 + q2a2 – a2b2 = 81
La ecuación de la elipse queda:
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